从本质上看，几何和拓扑两者的研究对象都是形状，而曲率是描述形状的凭借。一个充满了气的足球是球状物，但在拓扑上，它等同于未充满气、瘪下来的足球。完美的球状物只需通过空气的增加或减少，而不必撕裂或切割，就可以变成凹形的球。充满气的球形，其曲率为正的常数，即是说它的曲率点点都是相同的，但瘪下来的球的曲率则会随着球面上的点而变化。
曲率是确定概括的形状（拓扑）和精确的形状（几何）之关键，这种联系在高维的情况下也是成立的，只不过曲率变了，有好几种情况比不同气压的球复杂和困难得多了。这就说明了为何曲率是如此强而有力的工具，多年来一直吸引着我。
我们可以定义二维的球面，即为在三维空间中和某中心点等距离的所有点所构成的集合。但我们也可以纯粹利用曲率来描述它，这种做法比第一种的做法更有力，用途更广泛：它可以用来描述在高维空间中复杂的、卷曲的物体（或流形），这些物体不可能用简单的公式来表达。
曲率也在物理中占有重要的地位，物理学建基于用微分方程式描述的定律。比如，质点的速度是它位置的变化率，加速度是速度的变化率。我们可以通过质点轨道的曲率，决定它所受的力，从而知道它的加速度。在高能加速器实验中，研究人员反过来通过分析路径的曲率来决定粒子的质量，从而断定那是什么粒子，而这不过是曲率在物理中的诸多应用之一。（同理，也可以想象人生的轨迹，从各个关键的转折点的“曲率”着眼，便可知整个人生的梗概。本人现在所做的陈述，便是如此。）
概括而言，爱因斯坦关于广义相对论的方程式（我迟点才会学习）正是对宇宙曲率的描述。它由一组非线性的微分方程所组成，只要其中一个变量有细微的改变，都会导致不成比例的重大后果。很多现象能够用线性的方程来模拟，达到不错的效果。所谓“线性”，是指变化是符合比例的，且同一方程的两个解加起来仍是解。可是，我们身处的世界本质上是非线性的，这是永远不可能忽略的事实。
比如，当气候突然变化，股市急剧波动，这时非线性方程就要登场了。非线性方程在广义相对论的领域中十分普遍，这里空间总是弯曲的，而有关的现象也是非线性的，没法子通融。不久之后，我便掌握了一种方法，作为研究几何的策略，有如在广义相对论中，我们利用描述局部的爱因斯坦方程式来了解宇宙的整体结构。
虽然面对的乃是几何学中出名难搞的非线性方程，但我有幸走进了莫里的课堂。他可称为当今世上“非线性分析”的顶尖人物，非线性分析是微分学更进一步的学问。他的专长是非线性偏微分方程，我如饥似渴地吸收莫里所愿意传授的知识。幸好，他非常慷慨。
想到把几何、拓扑和非线性分析共冶一炉，能有大用之际，我的兴致就更浓厚了。这时候，研究偏微分方程的人如莫里，和研究几何的人（包括身处同系的陈省身），双方几乎没有什么交流。很多几何学者都把偏微分方程留给分析学者，或如某权威所言的工程学者。诚然，莫里是一流的分析学家，但他对几何的兴趣不大，他只把几何看成偏微分方程的泉眼，源源不绝地向他输送饶有趣味的偏微分方程。而我却把过程倒过来，利用这些方程来解决几何上的难题，尤其是那些已尽试其他方法仍无寸功的项目。
我认为把这些分开的线绾结在一起，会对几何和分析，还有拓扑，都有莫大的好处。我的想法很初步，开始时不知如何入手，也不知要往何处去。但我的信念逐渐坚定下来，至今犹未改变。
回到1969年秋。当时，反越战示威在美国正闹得沸沸扬扬。伯克利是示威学生的重镇，很多学生和教员都在罢课罢工。当班上的学生太少时，斯帕尼尔便宣布不上课了。而莫里的微分方程课，学生不只是逃了几堂课而已。他们一个一个地退选，最后只剩下我一个人。当时初来乍到，并未牵扯进运动之中。然而，莫里坚持授课，他如常披上外套，系好领带，对着我一人讲课，犹如对着全班一样。事实上，他比平时还多了准备。他没有跟随原定的课程大纲，而是根据我的兴趣和水平，特意设定了内容。在拥有三万学生的大学里，很难想象有这样一对一的讲授。这确实是真正难得的机会，我觉得自己很幸运，能够得到大师的亲身传授。
伯克利的示威不断，规模盛大，时酿冲突，弥漫在空气中的催泪气体的气味已成为大学的背景了。坐在课堂内，看见外面一大群学生手中拿着石头，正和手执盾牌和枪械的军警对峙，这情景已习以为常。“全世界都在看！”反战示威者不时这样高呼。我亲眼看见这些画面，不是从电视的屏幕，而是从课堂或图书馆。老实说，在草地那边厢种种混乱的干扰下，实在难以收敛心神在数学上。我反对战争，但不会马上投身于这类斗争之中。那时我对美国文化并不了解，也没有机会去思考这场运动中的种种议题。