从拓扑上看，一维空间本质上只有直线和圆两种。你可以把圆扭成各式各样的回路，但除非切断它，否则它不会变成直线。二维可定向的曲面则可按照其亏格分类。所谓亏格，简言之即曲面上洞的数目。如球面上没有洞，故亏格为0，车胎或甜甜圈只有一洞，亏格为1。就如圆和直线般，球面和甜甜圈在拓扑上不相同，你不能把球面变成甜甜圈，除非在中间剖开一个洞。（原图引自顾险峰和尹晓田）
虽然并没有走进那领域，但他们对我都很好。我对这科目的观感，到伯克利之后改变了。上泛函分析的研讨班时，已不复昔时的兴奋，而对另外的课却愈来愈兴趣盎然，和从前以为抽象是数学最高标准的偏见，也愈行愈远了。
反之，我视数学非自成一国的学问，而是和大自然息息相关的知识。从几何中呈现的完美结构，更能看到数学和自然的融合。在某些情况中，这些结构甚至能绘画出来，这令它更容易为人理解。当然，到了更深的层次，就很难这样做了。
正因如此，日子久了，我对几何的兴趣愈来愈大，也意识到之前对它的了解未免太肤浅了。这科目委实深奥而丰富，令人肃然起敬。它可以追溯至两千五百年前的毕达哥拉斯与四千年前的古埃及人和巴比伦人，我被它迷住了。
可以这样说，莫里的微分方程课对我的影响最大。他讲的主题是偏微分方程，这些方程随着多个而非一个变量（如时间）变化。这些方程式极为重要，其中一个原因是，物理学中的主要定律，经由牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦诸人推导出的，都是以偏微分方程的形式表达出来的。这些方程中尤以“非线性”那一类最富挑战性。大部分偏微分方程都不能精确地来求解，或用公式表达，它们只能由困难的逼近过程决定下来。
这个课程非常依赖于莫里自己写的书。从某种意义来看，这书写得并不好，里面的材料没经过充分的组织。可是另一方面，它的内容却着实精彩，就算有不足之处，这书仍然是本科目中的最佳之作。但这科并不受学生欢迎，大家都说里面的东西非常难，啃不动，莫里又要求学生在班上做报告，那对讲者和听众都不好受。我在班上坚持下去，心里知道，有朝一日这将是十分有用的。我十分用功，做了大量的计算，在这过程中获益良多。
我脑海中隐隐浮现一个念头，就是以偏微分方程为经纬，把几何和拓扑联系起来。几何和拓扑通常被看成两个不同的科目，但我总觉得这种区分只是表象。几何能给出的，是局部的特写，就如用放大镜检视地球的表面；而拓扑却能提供宏观的图像，就如从外层空间看地球一般。可是说到底，两者观察的都是同一个行星，不同的观点互为补益而非相冲。
因此之故，不明白为何人们总要在几何和拓扑之间划线，把两个领域分隔开来，有些人确实对此敏感得很。老实说，谁胜谁负根本不要紧，两者应该携手共进。我视所有不同的数学领域为同一织物的各部分，不会为外人附加于科目的界限所拘束，对各部分都感兴趣。正如我的美国朋友时不时这样说，“所有种种，一应俱全”（thewholeenchilada）。对各部件的理解愈多，便知它们是糅合在一起的。然而，也要承认，出于某些不可知的原因，有些部件比其他对我更有吸引力。
有必要指出的是，我并不是第一个沿着这思路走的人，高斯—博内定理在整个19世纪中发展，经过众人包括卡尔·弗里德里希·高斯（CarlFriedrichGauss）、皮埃尔·博内（PierreBonnet）、瓦尔特·冯·戴克（WalthervonDyck）等人的努力，成功地把几何（或曲率）和曲面的拓扑联系起来。20世纪之初，亨利·庞加莱（HenriPoincaré）深化了几何和拓扑的联系，数十年后的海因茨·霍普夫（HeinzHopf）和陈省身（后成了我在伯克利的导师）令这种联系更为稳固。我只不过在他们工作的基础上，在微分方程尤其是非线性的引进这方面，做了进一步努力。这方面的探究，属于后来“几何分析”的一部分，几何分析一词乃是美国数学学会和自然科学基金会为研究计划分类时引进的。
几何分析的新意，在于把非线性偏微分方程用于微分几何。在微分几何中，利用微积分作为工具进行研究，已有好几百年了，至少可以追溯到莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在18世纪中晚期的工作。开始时，利用的是线性的微分方程，后来逐渐发展到利用非线性微分方程，这是不言而喻的，因为这些方程描述了事物细微、无限小的变动。在几何中，我们利用这些方程来量度曲率，并考究曲率在空间各点的变化。当空间的曲率“局部”地（即每一小片）确定后，我们便能对空间的“整体”有所认识。一边是曲率，即局部的几何或空间精准的形状；另一边是拓扑，即同一空间的概括形状——两者之间的联系使我着迷，构成我过去四十多年工作的重心。