“这孩子整天都坐着看书,这不正常。你看他,我们回来这么久,他瞧都没瞧一眼。我可被他吓到了。嘿,我跟你说话呢!”
杰克将遥控器朝大卫扔去,砰的一声砸到他胸口,然后咔嗒一声掉到地上。大卫吓得一缩,抬起头,两人目光相遇。紧接着,杰克咒骂起来,将贝蒂一把推开。
杰克令他困惑。大卫找不出能预测他爆发的规律。
最终,贝蒂把杰克哄进卧室,剩下大卫独自一人留在客厅。他缓慢地伸直腰板,忽略疼痛,然后把书放到腿上。
黑暗网络是我们大脑的默认模式。只要我们没有费心在想问题,大脑便会转变为这种状态。只要我们没在思考任何特定的事,便会徜徉在时间里,抛开当下的束缚,漫步在无限多的人生道路上,无论是已走过、未走过,还是等待被发现的道路。
大脑操控时间的能力几乎尚未被开发。如果说感知的同时性在很大程度上只是一种假象,那么我们对于经历的线性化感知是否也是人为构建的?我们似乎在时间之河里走马观花,仅是时不时地刻意感知当下。如果创伤与疾病影响了大脑的相关区域,那么我们是否可将经历切分成无比细微的碎片,无序地进行体验,又或者永远地远离当下,迷失在时间中?
第二天,贝蒂与杰克将所有的书打好包,送到了垃圾场。
“反正那些书你也读不了。”贝蒂安慰大卫道,“我连看都看不懂。可生活还得继续。”
“根据我们上次所学,”吴女士说,“你们也许会认为,所有无限集合的基数都是阿列夫零,但这是错的。无限可数集只是无限中最小的。
“举个例子,所有实数的集合并非无限可数集,而要比它大得多。康托找到了证明的方法。
“假设实数属于无限可数集,那么在自然数与实数之间必然存在双射,实数数量也必然可数。既然每个实数均可以用无穷的小数位数数列的形式写出——如果小数位数并非无穷多,就在末尾填上重复的0好了——那么我们可以想象其排列会呈以下所示:
“记住,这应该是所有实数的排列,然而我们可以轻易构建出一个不可能存在于此排列中的新的实数。取排列中第一行数字的第一个数,写下一个与之不同的新数字。再取第二行数字的第二个数,再写下一个与之不同的新数字。沿排列中的这条斜线,依此类推。
“当你把新数字连在一起,便得到一个新的实数,但该实数不存在于排列中的任何角落。它与第一行数字的不同在第一位数,与第二行的不同在第二位,与第三行的不同在第三位,以此类推。
“继续沿着新的斜线圈出数字,然后替换数字,你可以构建出无限多的不存在于排列中的实数。所以自然数与实数之间不存在双射,无论你如何排列实数,总会有更多的漏网之鱼。实数是无限集合,但该集合的基数比阿列夫零要大得多。实数比自然数多得多,因此是不可数的。我们将此类不可数的无限集的基数称为‘贝特一’。
“但纵使是贝特一,也只是一个很小的超限数6。还有更多更大的数字,那是真正的无限中的无限,过几天我们会讲。当康托首次提到它们的存在时,部分神学者觉得受到了威胁。在他们看来,康托是在挑战上帝绝对的无限性和超然存在。
“即使只知道贝特一比阿列夫零要大这一点,已足以让人观察到一些奇妙的事实。例如,我们知道有理数是可数的,基数是阿列夫零。可是,实数是有理数集与无理数集的并集,我们也知道实数的基数是贝特一。
“因此,无理数集的基数必然比阿列夫零大,因为将阿列夫零翻倍得到的仍是阿列夫零,而不是贝特一。事实上,我们已经证明无理数是不可数的——或者说基数为贝特一。
“换句话说,无理数比有理数要多得多。几乎所有实数都是无理数,同理可证,几乎所有无理数都是超越数,而不是代数数,不可能是整系数多项式的根。尽管与我们生活息息相关的超越数屈指可数——比如圆周率和欧拉数——但它们构成了数轴的大部分。你们这些年在学校所学的数学知识,不过只关注了这条连续体上极微小的一部分而已。”
吴女士的教材在开篇那一章引用了诗句。大卫不怎么喜欢诗,似乎所有诗都是用他不能理解的言外之意写成的,当中的隐喻与意象让他困惑。但是这次不同,这些诗他读来似乎感同身受。