空间展出了她的风华——素朴而安宁。
——《庞加莱之梦》选段，2006年
“玫瑰是玫瑰，就是玫瑰”，这是格特鲁德·斯坦（GertrudeStein）创作于1913年的著名诗句。但对球面能说相同的话吗？比如说拿一个泄了点气的足球，从一面按压它，或拉挤它，踩上去，跳上去，扭它，揍它或做任何你想到的动作，只要不弄穿孔或撕开它，球面在拓扑的意义下都是一个球面吗？
法国数学大师亨利·庞加莱学识渊博，对数学的众多领域都做出过重要贡献，这些领域包括天体力学、特殊相对论和其他物理分支。1904年，他提出一个和上面类似的问题，用词比斯坦的诗句来得专业，是以成熟的数学猜想的形式表达出来的。毫无疑问，这是最为世人熟知的一个猜想。它屹立了差不多一个世纪，抵挡过不少破解的冲击，直至俄国数学家格里沙·佩雷尔曼（GrishaPerelman）的一系列文章在互联网上毫无先兆地出现时，首个可信的证明才告面世，这是2002年底到2003年中的事。
这个在过去百年间吸引了这么多目光，直至今天还让人议论纷纷的猜想究竟是怎样的？第五章中已说过，庞加莱断言一个紧的空间在拓扑上等同于球面的条件是，每条在空间上的闭曲线（回路）能连续地缩成一点，即是说，在空间里的回路能在无障碍的状态下缩成一点。很早以前，我已为这猜想之简短而啧啧称奇。就是这么简单的一句话，使世人忙了一个世纪。庞加莱猜想使人神往，部分原因就在这里。（请记住上述的猜想只适用于三维的空间，在n维空间中。收缩的回路要用所有维数小于n的收缩球面代替。）
要了解庞加莱心中的想法，可以先考虑二维球面，它便是地球仪的表面（内部不计）。你可以把橡皮圈拉长，沿赤道勒上去，然后把它逐渐向南极或北极推动。这时，橡皮圈就会毫不费力地缩成一点。另一方面，考虑带洞的甜甜圈，把橡皮圈缠绕在圈的中部——除非橡皮圈或甜甜圈断开了，否则它是不能缩成一点的。绕着甜甜圈外侧或内侧的橡皮圈也不能缩成一点，除非把甜甜圈挤压成一团，但那时它就不再是甜甜圈了。
再次提醒读者，我们讨论的是甜甜圈的表面或它的外层，不包括它可口的内部。球面和甜甜圈这两个形状，本质上的区别在于有洞或没有洞。球面无洞而甜甜圈却有，这意味着球面不能在不弄破它的状态下变成甜甜圈，反之亦然。
二维的曲面早在19世纪已为人熟知。庞加莱猜想与三维球面有关，三维球面即是四维球的表面，对一般人来说有点难以想象。正如二维球面由在三维空间中所有和原点距离等于r的点所组成，这些点的坐标（x,y,z）满足方程式x2+y2+z2=r2；类似地，三维球面由所有四维空间中和原点距离等于r的点所组成，这些点的坐标（x,y,z,w）满足方程式x2+y2+z2+w2=r2。可以预见，通过研究这猜想，我们会对三维空间有更深刻的认识。不过，庞加莱早知这猜想的证明并不容易。他说：“这问题会领着我们走得很远。”的确，为了求解这个猜想，人们走过了漫漫长路。
球面是个二维曲面，它是“单连通”的。这意味着球面上的闭曲线皆可无障碍地在其上缩成一点。
这个问题的二维情况，早在庞加莱提出猜想前就解决了。高维的情况亦分别在不同的时期解决了。1962年斯蒂芬·斯梅尔对维数大于四的情况证明了猜想。1982年迈克尔·弗里德曼对四维的情况给出了证明，文章刊登在《微分几何学报》（见第七章）。然而，正如庞加莱所料，三维的情况最为棘手，困难在于高维空间能采用的方法并不适用于三维，三维空间相对局促，难以回旋。
是以三维的庞加莱猜想，是众多失败证明的葬身之地，即如大西洋的百慕大三角，大量飞机和船只在那里长眠。数学家约翰·斯托林斯（JohnStallings）曾于1960年证明了维数大于六时的猜想。1966年，他在一篇题为《如何不去证明庞加莱猜想》的文章中，洋洋洒洒地描述了他证明三维猜想时遭遇的种种挫折。
我对这猜想早有兴趣，会时不时想一下。上面说过，1976年结婚前，我和友云、她父母驾车横跨美国时便如此。但我没有埋首于破解它，原因是从来没有破解猜想的灵感。庞加莱曾形容灵感如“漫漫长夜中的一霎电光，这一霎就是一切”。可是对这问题，在理查德·汉密尔顿创造里奇流之前，我期待的“一霎”始终没有到访过。但是它终于来了，照耀了汉密尔顿宏伟的思维，也照耀了我带领的团队。二十年的辛苦工作，完成了里奇流的奠基工作。然后那更强的电光再次照耀在佩雷尔曼身上，几何分析的力量再次震撼科学界！