这个难题有时也被称作舒伯特问题。事缘19世纪后期，德国数学家赫尔曼·舒伯特（HermannSchubert）首先破解了最简单的情况，即在五次三维形上能容纳多少条一次的曲线（即直线）。1986年，数学家谢尔登·卡茨（SheldonKatz）确定了二次曲线（如圆形）在五次三维形上的数目，这个问题当然更难。坎德拉斯及其合作者攻坚的是更进一步的难题，即决定三次曲线能放进五次三维形的数目。
镜像对称是这样发挥作用的。首先，在原来的五次三维形上，曲线有多少条很难计算，但在它的镜像流形上进行计算则容易得多，而这些镜像流形是格林和普莱泽早前找到的。正如格林所说，镜像对称提供了一种方法，可以“巧妙地重组计算，使一切变得容易”。通过在镜像流形而非在原来的流形上进行计算，坎德拉斯小组最终得到精确的结果：在五次三维形上能放进的三次曲线的数目为317206375。
此图旨在说明在曲面上找曲线或直线的一般概念，图中的曲面和文内讨论的不同。图中显示的是19世纪枚举几何的一个著名结果，阿瑟·凯莱（ArthurCayley）和乔治·萨蒙（GeorgeSalmon）证明在三次曲面上刚可容纳27条直线。其后赫尔曼·舒伯特推广了这个结果，后人称之为凯莱—萨蒙定理。（引自理查德·帕莱和3D—XplorMathConsortium，特此鸣谢）
这立即引起我的关注，因为如果他们的结论是正确的话，那便足以说明镜像对称可用于其他枚举几何的问题上了。对我来说，好好搞清楚这个崭新的概念，顿时变成当务之急了。
差不多就在这时，辛格问我可不可以在MSRI举办一个以数学物理为主题的会议。他原来的想法是把主题放在“规范场论”上，这比较接近量子场论和基本粒子。但当前镜像对称的新发展实在令人鼓舞，我提议把主题改变一下。辛格对这题目并不陌生，他刚在哈佛听过格林的演讲。我跟他再多说了一点详情，他立即同意以镜像对称为主题在MSRI搞一个一星期长的会议，时间是1991年5月，并提议我来当会议的主席。
这次会议充满火药味。由于镜像对称早期的工作都是由物理学家如格林、普莱泽、坎德拉斯等人完成的，数学家不大相信这些结果，也不情愿把这些想法用于他们的领域如枚举几何和代数几何上去。说到底，这种犹豫不决的态度，背后源于数学家总觉得物理学家不够严谨。
到了两位挪威数学家盖尔·埃林斯若德（GeirEllingsrud）和斯泰因·阿里尔·斯特勒默（SteinArildStr?mme）在会上公布了他们对舒伯特问题的答案时，会场气氛一下子高涨起来。他们利用古典的代数工具，推算出答案2682549425，跟物理学家推导的数目相差很远，没有人能肯定哪个才是真正的答案。坎德拉斯、格林和其他镜像对称的拥戴者都不免面带愁容。我用他们的办法重新算了一次，但真的无法找到任何漏洞。但转过头来，不到一个月，埃林斯若德和斯特勒默发现他们用的计算机程序出了错，改正后再算一次，结果得出数字317206375，竟和坎德拉斯他们算的相同！这样，不只对镜像对称，就是对弦理论，大家都投下了信心的一票。
坎德拉斯的工作其实更为广泛，他们找到的不仅仅是有关直线、圆等能放进五次三维形数目的公式，所有次数曲线数目的公式也找到了。这是一个强而有力、包罗万象的命题，对次数等于1、2和3的情况已经证明了，但其他次数还有待证明。1994年底，马克西姆·孔采维奇（MaximKontsevich）把这个命题的其中一部分加上数学的想法，提出了个猜想，名之为同态镜像猜想（homologicalmirrorsymmetryconjecture）。
其实我一直在思考如何证明由镜像对称得到的舒伯特问题的公式，它和上述的同态镜像猜想具有不同的形式。坎德拉斯和他的合作者只能从物理猜想这个公式，但是没有严格的数学推导，顶多只能算是数学上的一个猜想。和曾做我博士后的连文豪和学生刘克锋探讨过后，我们决定放手一搏。这个题目除了本身的兴趣之外，证明也会赋予由弦理论所引发的镜像对称严格的数学基础，这便是我考究这问题背后的动机。
我们在这问题上的工作引发了一段插曲。1996年3月，在一篇上传于“数学档案”（arXiv）的文章中，伯克利的几何学者亚历山大·吉文特尔（AlexanderGivental）声称就镜像猜想做出了证明。连、刘和我很细心地看了文章，但和其他人一样，我们没法搞清楚这篇文章的正确性，深感疑惑。和其他同行谈及此文时，他们大部分都有同感，虽然有些作者的朋友持不同意见，但是他们也没有办法将文章的内容解释清楚。