蒙日的故事告诉人们，除了对数学本身的兴趣外，数学事业的开展可以是间接或出乎意料的。这里提到蒙日的原因，乃因卡拉比猜想可以由一条蒙日—安培方程表达出来。前面说过，这是一条非线性的方程，含有至少两个独立的变量，并且是“复”的，即是说，它和复数有关。对我而言，面对的挑战是，除了一维的简单情况外，没有人曾经解过复的蒙日—安培方程。在卡拉比猜想中，我要求解的乃是高维空间上的复蒙日—安培方程，这是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此。
在斯坦福的1973—1974学年，我开始着手求解蒙日—安培方程。那时距离蒙日发现这方程已差不多两个世纪了。可幸人们已经找到一些可使用的数学工具，而我自己也找到一些新的法子，这是蒙日当年不可能想象到的。我首先考虑在实数域上的蒙日—安培方程，它和曲面的曲率有关。实方程比复方程的处理来得容易一些，我邀请友人郑绍远合作。他当时在伯克利，时常来斯坦福看我。我的策略是借着对实方程的研究，来加强对方程的了解，然后才对付比较麻烦的复方程。
也许是幸运之神的眷顾，绍远和我不久即有所获，我们解了一个在著名的闵可夫斯基问题中出现的蒙日—安培型的方程。这个问题，以最简略的言辞来说，就是要找出给定曲率的曲面。你或者已经猜到为何我对这问题感兴趣。自从四年前修了莫里的课后，我一直对几何和偏微分方程的关系情有独钟。这亦是几何分析发展的主要动力，我正在这领域中努力，开发耕耘，并与其他志同道合者如郑绍远、理察和西蒙等群策群力。
解决这类问题的策略，正如上一章所述，在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日—安培方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性。
1974年春天，陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫（MikhailGromov）被视为当世最杰出的年轻几何学者之一，他正初次访问伯克利，伯克利待之为上宾。在六个月前，我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积，格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法，无论如何，这结果经得起考验，绝没有错。
这次在伯克利讲的是另一主题，就是在几何空间中的“谱”，即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上，它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难，宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法，就如上次争辩中的做法一样，非常倚重非线性偏微分方程，而格罗莫夫并非这方面的专家，或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白，而是嚷道我的理论有严重错误。
他对我说话的态度，好像我是个差劣的学生，没有好好地做作业。在研讨班上，他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底，据我揣摩，是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理，都必须用直观几何的方法来证明，不能用拓扑或图形解释的方法，而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念：深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外，还需要加上大量分析的方法，尤其是新近发展的非线性分析的工具，并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念，四十年来的经验，显示这是正确而且丰富的想法。
这次研讨班不算成功，格罗莫夫不断高声质疑，它怎可能会好。不过，其后我把证明详细地再讲给他听，并答复了他一次又一次的问难，终于把分析的方法化作纯粹的几何术语，阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然，对结果默默接受了。几年后，他将我的几何解释应用于其他几何问题上，他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。
后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生，他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学，就有点像用细小的片片，如乐高般嵌成整个几何的空间或流形，从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法，利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同，却殊途同归。必须重申，瑟斯顿想得透彻而具原创力，他的论证不必时时详尽清晰，其理念却对数学有深刻而长远的影响。